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Chiarimenti per gli studenti degli anni passati

Qualche rapido chiarimento, rivolto prevalentemente agli studenti degli anni scorsi.

  1. La rigidità della suddivisione alfabetica non ha molto senso per gli studenti che seguono il corso per la seconda (o terza, ahimè) volta. Costoro hanno spesso problemi di sovrapposizione fra gli orari dei corsi avanzati e quelli del primo anno. Trattandosi di situazioni numericamente poco importanti, il professor Spiga ed io lasciamo a questi iscritti la massima libertà di gestire la frequenza del nostro corso.
  2. Le nuove modalità d'esame valgono per tutti, anche per quanti avessero frequentato le edizioni passate del corso. Quindi le prove parziali non saranno effettuate, né per le matricole né per gli studenti meno giovani.
  3. I testi consigliati sono, appunto, consigliati. Se avete un testo di matematica che usava la professoressa De Biase, o un testo che consigliavo gli scorsi anni, non siete obbligati e nemmeno invitati a procuravi altri testi: usate quelli, e usateli bene.

Per ulteriori chiarimenti, sono sempre a disposizione.

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Propongo un utile (o almeno spero) riepilogo del cosiddetto principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti. In parole povere, è quel metodo che consiste nel sostituire una funzione infinitesima all'interno di un limite con un'altra espressione che "si comporta nello stesso modo". Esempio 1. È ben noto che \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}=1.\] Supponiamo ora di dover calcolare \[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}.\] Possiamo osservare che \[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \left( \frac{1}{\cos x} -1 \right)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \frac{1-\cos x}{x^2} \frac{1}{\cos x}.\] Utilizzando i limiti notevoli, deduciamo che il limite cercato vale \(1/2\).  Se però avessimo sostituito \(\sin x\) e \(\tan x\) con \(x\), avremmo potuto dedurre che \[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x- \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{x-x}{x^3}=0.\] Esempio 2. Poiché, per \(x \to +\i...

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