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Il principio di sostituzione degli infinitesimi

Propongo un utile (o almeno spero) riepilogo del cosiddetto principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti. In parole povere, è quel metodo che consiste nel sostituire una funzione infinitesima all'interno di un limite con un'altra espressione che "si comporta nello stesso modo".

Esempio 1. È ben noto che \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}=1.\] Supponiamo ora di dover calcolare \[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}.\] Possiamo osservare che \[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \left( \frac{1}{\cos x} -1 \right)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \frac{1-\cos x}{x^2} \frac{1}{\cos x}.\] Utilizzando i limiti notevoli, deduciamo che il limite cercato vale \(1/2\).  Se però avessimo sostituito \(\sin x\) e \(\tan x\) con \(x\), avremmo potuto dedurre che \[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x- \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{x-x}{x^3}=0.\]

Esempio 2. Poiché, per \(x \to +\infty\), abbiamo che \((x+1)^2 \sim x^2\), potremmo pensare che \[\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{(x+1)^2}}{e^{x^2}}=\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x^2}}{e^{x^2}}=1.\] Invece risulta ovviamente
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{(x+1)^2}}{e^{x^2}}=\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x^2+2x+1}}{e^{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} e^{2x+1}=+\infty.\]

I due esempi dimostrano, se ce ne fosse ancora bisogno, che sostituire infinitesimi (o infiniti) equivalenti all'interno di un calcolo di limite è un'operazione tutt'altro che priva di rischi. In particolare, non è giustificata la sostituzione nelle somme e nelle differenze.
Ma quando è possibile sostituire gli infinitesimi e gli infiniti?

Teorema. Siano date sei funzioni \(f_1\), \(f_2\), \(g_1\), \(g_2\), \(h_1\) e \(h_2\) tali che \[ f_1(x) \sim f_2(x), \quad g_1(x)\sim g_2(x), \quad h_1(x) \sim h_2(x) \] per \(x \to x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}\). Allora \[ \frac{f_1(x)g_1(x)}{h_1(x)} \sim   \frac{f_2(x)g_2(x)}{h_2(x)}\] e in particolare
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f_1(x)g_1(x)}{h_1(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f_2(x)g_2(x)}{h_2(x)}. \]

Il precedente teorema evidenzia che la sostituzione è, in generale, corretta soltanto in senso moltiplicativo.

Bibliografia

A. Cristofaro, A. Dall'Aglio. Il principio di sostituzione degli infiniti/-esimi. URL: http://www1.mat.uniroma1.it/people/dallaglio/am-aero/infinitesimi.pdf

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