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Esiti dell'esame di matematica del 4 febbraio 2016


MatricolaVoto
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81061115
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718574ASS
8105941
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80386729
80463218
80936422
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81057614
80487214
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80350828
81014827
80335619
803688ASS
791594ASS
80339225
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80355028
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8101472
81016619
80405628
80873327
75439420
80901216
81014415
80473518
80397626
80494516

Chi volesse prendere visione delle correzioni può presentarsi mercoledì 10 febbraio alle ore 10:30 in aula U5-2094. Lo stesso giorno provvederò a verbalizzare i voti sufficienti, salvo esplicito rifiuto mediante posta elettronica firmata con nome, cognome e numero di matricola.

Commenti

Le domande teoriche non sono frequenti, ma ogni tanto arrivano. Meglio sarebbe ricordare la definizione di derivata, a scanso di sorprese. Lo studio di funzione era estremamente rapido, tuttavia bisognava (conoscere e) applicare correttamente la definizione di valore assoluto prima di partire a testa bassa a fare calcoli.
Per quanto riguarda il limite del primo esercizio, servirà di monito per coloro che applicano il principio di sostituzione degli infinitesimi all'interno di una somma. Tale principio è invece moltiplicativo: non è generalmente consentito sostituire un infinitesimo con uno equivalente all'interno di una differenza, come insegna il celebre (contro)esempio \[\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}.\]

L'idea di sostituire \(\sin x\) con \(x\) si rivela sbagliata, pur essendo corretto che \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1\).

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Propongo un utile (o almeno spero) riepilogo del cosiddetto principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti. In parole povere, è quel metodo che consiste nel sostituire una funzione infinitesima all'interno di un limite con un'altra espressione che "si comporta nello stesso modo". Esempio 1. È ben noto che \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}=1.\] Supponiamo ora di dover calcolare \[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}.\] Possiamo osservare che \[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \left( \frac{1}{\cos x} -1 \right)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \frac{1-\cos x}{x^2} \frac{1}{\cos x}.\] Utilizzando i limiti notevoli, deduciamo che il limite cercato vale \(1/2\).  Se però avessimo sostituito \(\sin x\) e \(\tan x\) con \(x\), avremmo potuto dedurre che \[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x- \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{x-x}{x^3}=0.\] Esempio 2. Poiché, per \(x \to +\i...

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