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Un bel limite

Calcolare il limite (di successione)
$$
\lim_{n \to +\infty} \cos \left( \pi \sqrt{n^2-n} \right).
$$
La risposta è meno banale di quello che potrebbe sembrare!

Commenti

  1. Unknown3 luglio 2012 alle ore 16:17

    scusi ma come si risolve??? non saprei come fare...

    RispondiElimina
  2. Simone3 luglio 2012 alle ore 16:24

    Questo commento è stato eliminato dall'autore.

    RispondiElimina
  3. Simone3 luglio 2012 alle ore 16:27

    Ecco la soluzione, che comunque non è facilissima. Innanzitutto
    $$
    \begin{align*}
    \cos (\pi\sqrt{n^2-n})&= (-1)^n\cos(\pi(\sqrt{n^2-n}-n))\\
    &= (-1)^n \cos\pi\frac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n}\\
    &=(-1)^n\cos \pi\frac 1{\sqrt{1-\frac 1n }+1},
    \end{align*}
    $$
    e quindi
    $$
    |\cos(\pi\sqrt{n^2-n})| = \left|\cos \left(\pi\frac 1{\sqrt{1-\frac 1n }+1}\right)\right| .
    $$
    Poiché
    $$
    \lim \limits_{n\to +\infty}\pi\frac 1{\sqrt{1-\frac 1n }+1} =\frac{\pi}2,
    $$
    il coseno è una funzione continua e $\cos \frac{\pi}{2}=0$, concludiamo che il limite vale $0$.

    RispondiElimina
  4. Unknown4 luglio 2012 alle ore 00:55

    grazie mille della risposta, ma devo confessare di non averla capita completamente..
    mi è chiaro il perchè metta il valore assoluto..

    inoltre vorrei chiederle se durante i suoi appelli d'esame è possibile trovare un esercizio di questo tipo, perchè onestamente già il primo passaggio non mi sarebbe mai passato per il cervello...

    grazie!

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Simone Secchi4 luglio 2012 alle ore 09:30

      Il valore assoluto permette di trascurare il fattore $(-1)^n$. In astratto, $p_n \to 0$ se e solo se $|p_n| \to 0$.

      Questo esercizio è bello, ma non proprio standard. Effettivamente tutta la difficoltà è concentrata nel primo passaggio. L'ho proposto come una curiosità, perché non mi sembra adatto ad un tema d'esame per biotecnologi.

      Elimina

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